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勾股定理描述了直角三角形三条边之间的关系,公式简单而且直观,至今仍被广泛应用。勾股定理的具体内容是,对于任意一个直角三角形,两条直角边的平方和等于斜边的平方。用字母a、b表示两条直角边的长度,c代表斜边的长度,则勾股定理的公式为

a + b = c 。勾股定理是几何学的重要定理之一,有着广泛的应用,比如可以用于求坐标系中两点的直线距离。

方法1确定直角三角形的边

    如何使用勾股定理

    1确保三角形是直角三角形。 勾股定理只适用于直角三角形中,所以,在应用定理之前,你需要先确定三角形是否是直角三角形,这一点非常重要。幸好,区分直接三角形和别的三角形的方法只有一个,那就是看一个三角形中是否有一个90度的角。

    直角通常用小方格来标注出来,而不是用一道弧线标注。在三角形中找到相应的标注,就能将确定一个三角形是否是直角三角形。 如何使用勾股定理

    2确定变量a,b,c对应的三角形的边。 在勾股定理中,a,b表示直角三角形的两条直角边,而c用来表示斜边,即直角对应的那条最长的边。所以,先给两条直角边分别标注上a,b(具体的对应关系没有要求),而斜边标注上c。

    如何使用勾股定理

    3确定你所要求的边。 使用勾股定理可以求出直角三角形的任意一条边的长度,但前提是知道另外两条边的长度。先确定哪一条边的长度是未知的——a,b或者c。如果只有一条边的长度是未知的,那么就可以使用勾股定理求它的长度了。

    比如,如果我们知道斜边长度为5,一条直角边的长度为3,但是我们不知道另一条直角边的长度。在这种情况下,我们已知两条边的长度,第三边的长度是可以使用勾股定理求出来的。只需要根据下面的如何使用勾股定理的方法做就可以。 但如果有两条边的长度未知,你需要想办法求出其中一条边的长度才能使用勾股定理。如果你知道三角形中非直角的一个角的度数,你可以使用三角函数求出一条边的长度。 如何使用勾股定理

    4代入。 将两条已知边的长度带入到公式a + b = c中,其中a和b对应的是两直角边的长度,而c代表斜边长度。

    在上面的例子中,我们知道一条直角边和斜边的长度(3和5),然后将3和5代入到公式中,有

    3 + b = 。

    如何使用勾股定理

    5计算平方。 首先,计算两条已知边长度的平方值。或者,你也可以先不计算出来,然后保留平方,带到式子中直接计算平方和。

    在上述例子中,3和5的平方分别是9和25,所以方程可以改写为9 + b = 25。 如何使用勾股定理

    6将未知变量移到等号一边。 如果有必要的话,运用基本的代数操作,将未知变量移动到等号一侧,而将已知变量移动到等号的另一侧。如果你要求的是斜边长,那么就不需要再移动变量了。

    在上述例子中,方程式是9 + b = 25。两边同时减去9,等式变为b= 16。 如何使用勾股定理

    7求开方。 现在等式两边一边是数字,另一边是变量,然后同时求两边的平方根。

    在上述例子中b = 16,两边同时求平方根,有b = 4。因此,未知边的长度就是4。 如何使用勾股定理

    8使用勾股定理求解实际问题。 勾股定理之所以至今都被广泛运用,是因为它可以解决很多实际问题。了解一下可以应用勾股定理的场景,比如两个物体或者直线呈90度,然后另一个物体或者直线依靠在它们上面,共同构成一个直角三角形。这时,你可以使用勾股定理,在已知两边长度的情况下,求第三条边的长度。

    来求一个比较复杂的实际问题。一把梯子依靠在墙上,梯子底部到墙的距离是5米,而梯子顶部到地面的距离是20米,求梯子的长度。"梯子底部到墙的距离是5米”和"梯子顶部到地面的距离是20米”,给出了直角三角形两条直角边的长度。由于墙和地面是呈直角的,而梯子斜靠在墙上,我们可以令a=5,b=20,应用勾股定理求斜边c的长度,也就是梯子的长度:a + b = c; (5); + (20); = c; 25 + 400 = c; 425 = c; sqrt(425) = c c = 20.6,梯子的长度大约是20.6米。

方法2在直角坐标系中求两点的直线距离

    如何使用勾股定理

    1定义直接坐标系中的点。 勾股定理可以被用来求直角坐标系中求两点的直线距离。而你需要知道这两个点的坐标。通常,点的坐标是用(x, y)表示的。

    为求两点直线距离,我们要把这两个点当做直接三角形的两个非直角点。然后就可以求出a和b的值,继而算出斜边c的值,即两点间的距离。 如何使用勾股定理

    2在图中标出两个点。 在直接坐标系中,每一个点都可以用(x,y)的形式来表示,其中x是横坐标,而y是纵坐标。其实,就算你不在图中标出这两个点,你也依旧可以求出两点之间的距离,但是这样做的好处是,可以给你直观的图示,以便你确定结果是否准确。

    如何使用勾股定理

    3找到直角三角形的直角边。 所求两点作为直角三角形的非直角点,然后求出a和b的长度。你既可以在图中画出来,也可以利用公式|x1 - x2 |算出水平的直角边长度,用公式|y1 - y2 |算出垂直的直角边长度,其中(x1 ,y1 )代表第一个点的坐标,而(x2 ,y2 )代表第二个点。

    比如求(6,1)和(3,5)的距离。水平直角边长度:|x1 - x2 | |3 - 6| | -3 | =

    3

    垂直直角边长度:|y1 - y2 | |1 - 5| | -4 | =

    4

    然后我们就能得到三角形两直角边长度,a = 3,b = 4。 如何使用勾股定理

    4使用勾股定理求斜边。 两点间的距离就是你之前画出的三角形的斜边长度。使用勾股定理,代入直角边a和b的数值,求斜边长度。

    在上述例子中,直角边长度分别是3和4,所以求斜边的如何使用勾股定理的方法为:
    (3)+(4)= c;
    c= sqrt(9+16)
    c= sqrt(25)
    c= 5,(3,5)和(6,1)的距离是

    5 。

注意事项

如果三角形不是直角三角形,那么你还需要更多的数据。 斜边是:直角面对的那条边(而非组成直角的边) 直角三角形中最长的一条边 勾股定理中c 代表的那条边 sqrt(x)是指“x的平方根”。 记得在计算后再次检查你的运算。如果你的答案错误,那就从头再做一遍所有的运算。 如果你只知道三角形的一条边长,那么你无法利用勾股定理求其他的边长。尝试利用三角函数(sin, cos, tan)或通过特殊三角形的30-60-90 / 45-45-90比值确定边长。 作图是求三角形a、b、c三边长的关键。如果题目中的信息全是通过文字叙述的,那么在解题前,你需要先将文字转化为图形再进行计算。 最长边对应角的角度是最大的,而最短边对应角的角度是最小的,按照这个原则检查一下最后的结果是否正确。
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